Le service : approche mécanique

Arme maîtresse pour tout joueur qui se respecte, le service est primordial si l’on veut dominer l’échange. On a souvent associé  grand joueur (par la taille) avec grand service, je me suis « amusé » à tenter de vérifier cette légende urbaine par une étude mécanique… Je vais donc essayer de faire le plus simple possible pour ne pas perdre les allergiques aux maths et à la physique !

Pour ce faire, j’ai du prendre plusieurs hypothèses :

-          On se place dans un cadre avec un vent nul, en indoor par exemple,

-          On prendra pour modèle un joueur d’1m80 frappant ainsi à 2m80 de hauteur (bras + longueur de raquette + poussée des jambes),

-          On considèrera un service à plat, on ne tiendra donc pas compte ici de la rotation propre de la balle qui entraînerait des effets aérodynamiques difficiles à prendre en compte dans l’étude,

-          On ne tiendra pas compte de la déformation de la balle suite au choc,

-          On ne s’aventurera pas non plus à quantifier l’influence du fait que la balle ne soit pas lisse, qui obligerait à prendre de nouvelles variables en compte.

Le but est triple : prévoir la trajectoire de la balle, l’évolution de sa vitesse entre la frappe et l’instant précédent le choc avec le sol et comparer ces deux critères suivant la taille du serveur.

Première partie : Service « au T »

Pour plus de simplicité prenons le cas d’un serveur droitier, servant de gauche à droite. La trajectoire de la balle est quasiment rectiligne, c’est-à-dire que la balle ne varie que dans 2 dimensions (la trajectoire ne varie pas en largeur, contrairement à un service plus croisé).

1^er cas : Chute libre (frottements nuls)

Juste après le choc avec la raquette, la balle subit une seule force, son propre poids, autrement dit l’attraction du centre de la Terre qui fait tomber tout objet non retenu.

En réalité l’atmosphère crée une 2^ème force, de frottement, qui s’oppose au déplacement de la balle. On le verra dans le 2^ème cas.

Si on appelle alpha l’angle initial que fait la trajectoire de la balle avec la verticale, on peut mettre en équation cette trajectoire en utilisant le Principe fondamental de la dynamique (PFD) : m*a = P (1)
m : masse de la balle (57g)
a : accélération de la balle
P : poids de la balle

En projetant l’équation (1) sur les axes y et z reliés respectivement à la longueur du terrain et à l’altitude, et en intégrant, on obtient l’expression de la vitesse sur y et sur z :

Vy(t) = v0*sin(alpha) (2)

Vz(t) = -g*t – v0*cos(alpha) (3)

v0 : vitesse initiale de la balle, c’est-à-dire après sortie de raquette, on prendre 200km/h (55,5m/s)
g : accélération de la pesanteur (9,81 m/s^2)
t : variable du temps

On intègre une seconde fois pour avoir le déplacement sur les deux axes :

Y(t) = v0*sin(alpha)*t + y0 (4)

Z(t) = -0.5*g*t^2-v0*cos(alpha)*t+z0 (5)

Le graphe ci-dessus donne l’altitude de la balle en fonction du déplacement sur la longueur du terrain. Par exemple à y=y0=0,9m, la balle est à 2.8m d’altitude (instant initial). En effet, j’ai considéré que le serveur ne tapait pas la balle au niveau de la ligne de font de court mais à 0.9m en aval (poussée des jambes vers l’avant).

A y=16.58m, on a z=0, en d’autres termes c’est à cette longueur que la balle touche le sol.

Pour valider le modèle, il faut s’assurer que la balle passe évidemment au-dessus du filet, on va donc jouer sur l’angle alpha décrit précédemment afin d’être « juste » au dessus du filet, on minimise ainsi la durée de déplacement de la balle pour maximiser l’efficacité du service. Numériquement on trouve pour l’exemple du joueur d’1m80, alpha=81,3°.

Puis on obtient la vitesse globale en calculant la norme avec les relations (2) et (3).

On va ainsi avoir une vitesse qui augmente constamment au cours du temps, ce qui est impossible. Ce modèle est donc faux !

On doit prendre en compte un facteur d’amortissement, en clair l’existence de frottements due à l’atmosphère dans laquelle évolue notre balle de tennis.

2^ème cas : Présence de frottements fluides linéaires

Si on lâchait une balle de tennis du haut de la tour Eiffel, on remarquerait que sa vitesse se stabilise rapidement autour de 60 km/h. Cette vitesse limite est due à notre atmosphère qui freine l’objet. Ainsi, si le service part à 200km/h, il est évident qu’il aura perdu en vitesse entre le moment où le serveur frappe et l’instant où la balle touche le sol. La durée étant de l’ordre de 0.3 secondes, quelle est la vitesse réelle de la balle juste avant de toucher le sol ?

L’étude se décompose de manière similaire au 1^er cas, on doit néanmoins tenir compte de la force de frottement, qui intervient dans l’écriture du PFD. Cette force est proportionnelle à la vitesse de la balle (plus la balle va vite, plus elle sera freinée). D’où l’équation :

m*a = P + k*v (6)

où v désigne bien sûr la vitesse et k le coefficient de frottement fluide.

On projette comme avant sur les deux axes et on obtient des équations différentielles.

Passés les calculs on obtient :

Vy(t) = v0*sin(alpha)*exp(-(k/m)*t) (7)

Vz(t) = ((m*g)/k-v0*cos(alpha))*exp(-(k/m)*t) – (m*g)/k (8)

Passons ces expressions assez imbuvables et intéressons-nous plutôt au graphique représentant la vitesse en fonction du temps :

Entre le moment où la balle sort de la raquette et son impact avec le sol (un peu plus de 0.3 secondes), la vitesse a diminué de 9,4m/s, soit près de 34 km/h. Beaucoup en 3 dixièmes de seconde, mais pas impossible vu la masse (assez légère) de la balle de tennis. Une balle de pétanque, par exemple, aurait été beaucoup moins freinée.

L’intégration des relations (7) et (8) nous donnent les équations paramétriques du mouvement (trajectoire) :

Y(t) = -(m*v0*sin(alpha))/k*exp((-k/m)*t) + (m*v0*sin(alpha))/k + y0 (9)

Z(t) = -((m/k)*((m*g)/k – v0*cos(alpha)))*exp(-(k/m)*t) – (m*g)/k*t + (m/k)*((m*g)/k – v0*cos(alpha)) + z0 (10)

Et comme on est en présence de frottements, l’angle alpha trouvé dans le 1^er cas n’est plus suffisant pour être juste au-dessus du filet. Il faut donc l’augmenter légèrement (alpha=81.4°). Ainsi la vitesse diminue légèrement aussi.

On peut alors avoir les 2 trajectoires sur un même graphique, celle avec frottements (2^ème cas) et celle sans frottements (1^er cas) :

La courbe rouge représente le 1^er cas, la verte le cas avec frottements. On remarque que la verte est légèrement en retrait de la rouge. En d’autres termes, pour des conditions identiques (même serveur, même vitesse initiale), la balle faisant face à des frottements touche le sol avant (16.44m) celle à l’état « libre » (16.58m). Pour un même intervalle de temps on remarque également que la balle « libre » est déjà bien plus en avance que celle subissant les frottements (la verte touche à peine le sol lorsque la rouge est déjà « enfoncée » dans le sol).

Ces observations confirment donc que les frottements de l’atmosphère jouent un rôle, assez minime pour la trajectoire, mais loin d’être négligeable pour la vitesse de la balle et la durée du service…

C’est l’angle alpha qui va faire toute la différence entre un petit et un grand serveur.

Pour un serveur plus petit que notre serveur de référence, il va falloir augmenter alpha, et inversement pour un grand serveur.

Prenons deux cas extrêmes : Olivier Rochus : 1m68. Il va frapper la balle à environ 2m50 (j’ai tenté de mesurer cela sur les vidéos youtube). Deux contraintes s’imposent : passer par-dessus le filet (0.914m) et ne pas dépasser la ligne de service en longueur située à 18.29m du joueur.

Pour une vitesse en sortie de raquette de 200km/h, en calculant l’angle minimum nécessaire pour être au-dessus du filet (alpha=83°), on trouve une position d’impact à 17,09m du joueur, atteinte au bout de 325 ms (milisecondes).

Prenons à présent un joueur très grand, par exemple Ivo Karlovic : 2m08. Il devrait frapper la balle à environ 3m30. Ainsi mes calculs (alpha=79°) montreraient qu’il peut aisément frapper à 200km/h juste au dessus du filet avec une marge bien plus grande… En effet, l’impact se produirait à 15,61m, soit près d’1m50 avant la balle de Rochus et cela au bout de seulement 216 ms, environ deux tiers du temps mis par le Belge !

On peut même aller beaucoup plus loin en terme de vitesse, ainsi avec les hypothèses prises, la taille du géant Ivo lui permettrait de réussir un service à plus de 350 km/h dans les limites du court ! Evidemment les limites humaines interviennent alors, mais malgré mes hypothèses prises en début d’étude, je ne trouve pas inenvisageable l’idée d’un robot placé à 3.3m de hauteur tirant des services à 350km/h…

D’ailleurs, l’angle alpha par rapport à la verticale étant plus grand pour le Belge, il en résulterait une baisse de vitesse, néanmoins, vu le court intervalle de temps, cela n’influence quasiment pas.

Rochus est rassuré, il peut donc à priori servir à 200km/h, néanmoins il est évident qu’un serveur comme Karlovic, de par sa taille, maximise ses chances de réaliser un service gagnant grâce au gain de temps (33%) qu’il obtient sur le Belge. Le fait que la balle rebondisse dans une zone plus courte ne constitue pas un réel avantage pour un service « au T ». En revanche, il est clair qu’il aura toute son importance pour un service croisé extérieur !

Voilà, l’étude est longue pour un résultat finalement assez attendu, mais je trouve intéressant de pouvoir modéliser ce type de « phénomène » assez simple en apparence.

3^ème cas : Présence de frottements fluides quadratiques

A partir de certaines vitesses trop élevées, la force de frottement ne se modélise plus en k*v, mais en h*v^2, ainsi la force de frottement est proportionnelle au carré de la vitesse. Les calculs qui en découlent sont beaucoup plus délicats et les équations obtenues n’admettent pas de solution analytique. Autrement dit il faut créer un programme pour obtenir des solutions « point par point ». Le résultat que j’ai obtenu est peu différent du modèle des frottements linéaires, je ne développerai donc pas plus cette partie !

Deuxième partie : Service croisé extérieur

Cette fois, prenons l’exemple d’un service de droitier, de droite à gauche, visant la ligne extérieure. L’étude ne peut plus se faire dans 2 dimensions puisqu’ici la trajectoire va varier également en largeur. Essayons de montrer à quel point un grand serveur est avantagé dans cette situation…

On prendra la référence précédente (1m80, balle frappée à 2m80, à 200km/h, 90 centimètres en avant).

La démarche est similaire au 1^er cas, il va falloir cependant rajouter une composante sur la largeur. En d’autres termes, la balle ayant un mouvement sur la largeur (x), la longueur (y) et la hauteur (z), on aura 3 équations (au lieu de 2) pour définir sa trajectoire.

On gardera l’angle alpha pour désigner l’angle initial entre la verticale (z) et la trajectoire. Il faut par contre définir un nouvel angle, désignant l’inclinaison entre l’axe (y) lié à la longueur du terrain, on appellera cet angle beta.

L’origine du repère représente le point d’impact de la raquette avec la balle.

On traitera directement le cas avec les frottements linéaires :

De la même manière qu’au 1^er cas, on a les équations de la vitesse projetée sur les 3 axes :

Vx(t) = v0*sin(beta)*exp(-(k/m)*t) (1)

Vy(t) = v0*sin(alpha)*exp(-k/m*t) (2)

Vz(t) = ((m*g)/k – v0*cos(alpha))*exp(-(k/m)*t) – (m*g)/k (3)

La norme de ces trois composantes donne la vitesse réelle dont voici l’évolution au cours du temps :

La perte de vitesse est très légèrement supérieure au cas précédent, ce qui est logique car la distance à parcourir est un peu plus longue et donc les frottements de l’air agissent plus longtemps.

Voici, sans détails, les équations paramétriques de la trajectoire :

X(t) = -(m*v0*sin(beta))/k*exp(-(k/m)*t) + (m*v0*sin(beta))/k + x0 (4)

Y(t) = -(m*v0*sin(alpha))/k*exp(-(k/m)*t) + (m*v0*sin(alpha))/k + y0 (5)

Z(t) = (m/k)*(v0*cos(alpha) – (m*g)/k)*exp(-(k/m)*t) – (m*g)/k*t + (m/k)*((m*g)/k – v0*cos(alpha))+z0 (6)

Faute d’un logiciel peu représentatif, je ne vous montrerai pas la trajectoire du service (difficile à représenter en 3 dimensions). Néanmoins, les calculs permettent de comparer différents types de serveurs, en l’occurrence on reprendra nos amis Rochus et Karlovic !

Ainsi pour Olivier Rochus servant à 200km/h, s’il veut toucher la ligne extérieure (service idéal !)et passer au-dessus du filet (dont on fixe cette fois la hauteur à 0.999m), on aurait un angle alpha=83,3° et beta=16,6° et la balle atterrirait à une longueur de 17,75m, ce qui est bien dans les limites du court, avec une durée de 339ms.

Pour Karlovic avec les mêmes conditions de service, il toucherait la ligne extérieure avec un angle alpha=79,3° et beta=18,3° avec un impact au sol à 16,05m, soit 1m70 avant le service de Rochus, avec une durée de 305 ms, donc un service 10% plus court en terme de temps que celui du Belge ! Vous imaginez la différence d’effort d’anticipation et d’explosivité pour le retourneur entre ces deux services !

Là encore, l’écart de vitesse à l’arrivée est pratiquement inexistant entre les deux services. C’est donc bien au niveau de la position et dans une moindre mesure, au niveau du temps, que le grand serveur possède un avantage énorme.

Conclusion

Le service a été étudié avec plusieurs hypothèses pour simplifier l’étude, qui m’a déjà pris beaucoup de temps… Les résultats sont pourtant assez réalistes et confirment l’a priori. Reste plus qu’à filmer un serveur, étudier la trajectoire avec un logiciel adapté et confirmer ou non le modèle ci-dessus ! J’espère avoir été assez clair… et pas avoir dégoûté trop de monde !

About Benoît