Le service : approche mécanique

Arme maîtres­se pour tout joueur qui se re­spec­te, le ser­vice est primor­di­al si l’on veut domin­er l’échan­ge. On a souvent as­socié grand joueur (par la tail­le) avec grand ser­vice, je me suis « amusé » à tent­er de vérifi­er cette légende ur­baine par une étude mécanique… Je vais donc es­say­er de faire le plus sim­ple pos­sible pour ne pas per­dre les al­ler­giques aux maths et à la physique !

Pour ce faire, j’ai du pre­ndre plusieurs hy­pothèses :

- On se place dans un cadre avec un vent nul, en in­door par ex­em­ple,

- On pre­ndra pour modèle un joueur d’1m80 frap­pant ainsi à 2m80 de hauteur (bras + lon­gueur de raquet­te + poussée des jam­bes),

- On con­sidèrera un ser­vice à plat, on ne tiendra donc pas com­pte ici de la rota­tion pro­pre de la balle qui en­traî­nerait des ef­fets aé­rodynamiques dif­ficiles à pre­ndre en com­pte dans l’étude,

- On ne tiendra pas com­pte de la défor­ma­tion de la balle suite au choc,

- On ne s’aven­turera pas non plus à quan­tifi­er l’influ­ence du fait que la balle ne soit pas lisse, qui ob­ligerait à pre­ndre de nouvel­les vari­ables en com­pte.

Le but est tri­ple : prévoir la trajec­toire de la balle, l’évolu­tion de sa vites­se entre la frap­pe et l’instant précédent le choc avec le sol et com­par­er ces deux critères suivant la tail­le du ser­veur.

Première par­tie : Ser­vice « au T »

Pour plus de simplicité pre­nons le cas d’un ser­veur droiti­er, ser­vant de gauc­he à droite. La trajec­toire de la balle est quasi­ment re­ctilig­ne, c’est-à-dire que la balle ne varie que dans 2 di­mens­ions (la trajec­toire ne varie pas en lar­geur, contra­ire­ment à un ser­vice plus croisé).

1^er cas : Chute libre (frot­te­ments nuls)

Juste après le choc avec la raquet­te, la balle subit une seule force, son pro­pre poids, aut­re­ment dit l’attrac­tion du centre de la Terre qui fait tomb­er tout objet non re­tenu.

En réalité l’at­mosphère crée une 2^ème force, de frot­te­ment, qui s’op­pose au déplace­ment de la balle. On le verra dans le 2^ème cas.

Si on ap­pelle alpha l’angle in­iti­al que fait la trajec­toire de la balle avec la vert­icale, on peut mettre en équa­tion cette trajec­toire en utilisant le Prin­cipe fon­dament­al de la dynamique (PFD) : m*a = P (1)
m : masse de la balle (57g)
a : accéléra­tion de la balle
P : poids de la balle

En pro­jetant l’équa­tion (1) sur les axes y et z reliés re­spec­tive­ment à la lon­gueur du ter­rain et à l’al­titude, et en intégrant, on ob­tient l’express­ion de la vites­se sur y et sur z :

Vy(t) = v0*sin(alpha) (2)

Vz(t) = -g*t – v0*cos(alpha) (3)

v0 : vites­se in­itiale de la balle, c’est-à-dire après sor­tie de raquet­te, on pre­ndre 200km/h (55,5m/s)
g : accéléra­tion de la pesan­teur (9,81 m/s^2)
t : vari­able du temps

On intègre une secon­de fois pour avoir le déplace­ment sur les deux axes :

Y(t) = v0*sin(alpha)*t + y0 (4)

Z(t) = -0.5*g*t^2-v0*cos(alpha)*t+z0 (5)

Le grap­he ci-dessus donne l’al­titude de la balle en fonc­tion du déplace­ment sur la lon­gueur du ter­rain. Par ex­em­ple à y=y0=0,9m, la balle est à 2.8m d’al­titude (in­stant in­iti­al). En effet, j’ai con­sidéré que le ser­veur ne tapait pas la balle au niveau de la ligne de font de court mais à 0.9m en aval (poussée des jam­bes vers l’avant).

A y=16.58m, on a z=0, en d’aut­res ter­mes c’est à cette lon­gueur que la balle touc­he le sol.

Pour valid­er le modèle, il faut s’as­sur­er que la balle passe évidem­ment au-dessus du filet, on va donc jouer sur l’angle alpha décrit précédem­ment afin d’être « juste » au de­ssus du filet, on minim­ise ainsi la durée de déplace­ment de la balle pour maximis­er l’ef­ficacité du ser­vice. Numérique­ment on trouve pour l’exem­ple du joueur d’1m80, alpha=81,3°.

Puis on ob­tient la vites­se globale en cal­culant la norme avec les re­la­tions (2) et (3).

On va ainsi avoir une vites­se qui aug­mente con­stam­ment au cours du temps, ce qui est im­pos­sible. Ce modèle est donc faux !

On doit pre­ndre en com­pte un fac­teur d’amor­tisse­ment, en clair l’exist­ence de frot­te­ments due à l’at­mosphère dans laquel­le évolue notre balle de ten­nis.

2^ème cas : Présence de frot­te­ments fluides linéaires

Si on lâchait une balle de ten­nis du haut de la tour Eif­fel, on re­mar­querait que sa vites­se se stabil­ise rapide­ment auto­ur de 60 km/h. Cette vites­se li­mite est due à notre at­mosphère qui freine l’objet. Ainsi, si le ser­vice part à 200km/h, il est évident qu’il aura perdu en vites­se entre le mo­ment où le ser­veur frap­pe et l’instant où la balle touc­he le sol. La durée étant de l’ordre de 0.3 secon­des, quel­le est la vites­se réelle de la balle juste avant de touch­er le sol ?

L’étude se décom­pose de manière similaire au 1^er cas, on doit néan­moins tenir com­pte de la force de frot­te­ment, qui in­ter­vient dans l’écri­ture du PFD. Cette force est pro­por­tion­nelle à la vites­se de la balle (plus la balle va vite, plus elle sera freinée). D’où l’équa­tion :

m*a = P + k*v (6)

où v désigne bien sûr la vites­se et k le co­ef­ficient de frot­te­ment fluide.

On pro­jet­te comme avant sur les deux axes et on ob­tient des équa­tions dif­féren­tiel­les.

Passés les cal­culs on ob­tient :

Vy(t) = v0*sin(alpha)*exp(-(k/m)*t) (7)

Vz(t) = ((m*g)/k-v0*cos(alpha))*exp(-(k/m)*t) – (m*g)/k (8)

Pas­sons ces ex­press­ions assez im­buv­ables et intéressons-nous plutôt au grap­hique re­présen­tant la vites­se en fonc­tion du temps :

Entre le mo­ment où la balle sort de la raquet­te et son im­pact avec le sol (un peu plus de 0.3 secon­des), la vites­se a di­minué de 9,4m/s, soit près de 34 km/h. Be­aucoup en 3 dixièmes de secon­de, mais pas im­pos­sible vu la masse (assez légère) de la balle de ten­nis. Une balle de pétan­que, par ex­em­ple, aurait été be­aucoup moins freinée.

L’intégra­tion des re­la­tions (7) et (8) nous don­nent les équa­tions para­métriques du mouve­ment (trajec­toire) :

Y(t) = -(m*v0*sin(alpha))/k*exp((-k/m)*t) + (m*v0*sin(alpha))/k + y0 (9)

Z(t) = -((m/k)*((m*g)/k – v0*cos(alpha)))*exp(-(k/m)*t) – (m*g)/k*t + (m/k)*((m*g)/k – v0*cos(alpha)) + z0 (10)

Et comme on est en présence de frot­te­ments, l’angle alpha trouvé dans le 1^er cas n’est plus suf­fisant pour être juste au-dessus du filet. Il faut donc l’aug­ment­er légère­ment (alpha=81.4°). Ainsi la vites­se di­minue légère­ment aussi.

On peut alors avoir les 2 trajec­toires sur un même grap­hique, celle avec frot­te­ments (2^ème cas) et celle sans frot­te­ments (1^er cas) :

La co­ur­be rouge représente le 1^er cas, la verte le cas avec frot­te­ments. On re­mar­que que la verte est légère­ment en re­trait de la rouge. En d’aut­res ter­mes, pour des con­di­tions iden­tiques (même ser­veur, même vites­se in­itiale), la balle faisant face à des frot­te­ments touc­he le sol avant (16.44m) celle à l’état « libre » (16.58m). Pour un même in­ter­valle de temps on re­mar­que égale­ment que la balle « libre » est déjà bien plus en avan­ce que celle sub­is­sant les frot­te­ments (la verte touc­he à peine le sol lorsque la rouge est déjà « en­foncée » dans le sol).

Ces ob­ser­va­tions con­fir­ment donc que les frot­te­ments de l’at­mosphère jouent un rôle, assez minime pour la trajec­toire, mais loin d’être néglige­able pour la vites­se de la balle et la durée du ser­vice…

C’est l’angle alpha qui va faire toute la différence entre un petit et un grand ser­veur.

Pour un ser­veur plus petit que notre ser­veur de référence, il va fal­loir aug­ment­er alpha, et in­ver­se­ment pour un grand ser­veur.

Pre­nons deux cas extrêmes : Olivi­er Roc­hus : 1m68. Il va frapp­er la balle à en­viron 2m50 (j’ai tenté de mesur­er cela sur les vidéos youtube). Deux contra­in­tes s’im­posent : pass­er par-dessus le filet (0.914m) et ne pas dépass­er la ligne de ser­vice en lon­gueur située à 18.29m du joueur.

Pour une vites­se en sor­tie de raquet­te de 200km/h, en cal­culant l’angle mini­mum néces­saire pour être au-dessus du filet (alpha=83°), on trouve une posi­tion d’im­pact à 17,09m du joueur, at­tein­te au bout de 325 ms (milisecon­des).

Pre­nons à présent un joueur très grand, par ex­em­ple Ivo Kar­lovic : 2m08. Il de­vrait frapp­er la balle à en­viron 3m30. Ainsi mes cal­culs (alpha=79°) montreraient qu’il peut aisément frapp­er à 200km/h juste au de­ssus du filet avec une marge bien plus gran­de… En effet, l’im­pact se pro­duirait à 15,61m, soit près d’1m50 avant la balle de Roc­hus et cela au bout de seule­ment 216 ms, en­viron deux tiers du temps mis par le Belge !

On peut même aller be­aucoup plus loin en terme de vites­se, ainsi avec les hy­pothèses prises, la tail­le du géant Ivo lui per­mettrait de réussir un ser­vice à plus de 350 km/h dans les li­mites du court ! Evi­dem­ment les li­mites humaines in­ter­vien­nent alors, mais malgré mes hy­pothèses prises en début d’étude, je ne trouve pas in­en­visage­able l’idée d’un robot placé à 3.3m de hauteur tirant des ser­vices à 350km/h…

D’ail­leurs, l’angle alpha par rap­port à la vert­icale étant plus grand pour le Belge, il en résul­terait une bais­se de vites­se, néan­moins, vu le court in­ter­valle de temps, cela n’influ­ence quasi­ment pas.

Roc­hus est ras­suré, il peut donc à priori ser­vir à 200km/h, néan­moins il est évident qu’un ser­veur comme Kar­lovic, de par sa tail­le, maxim­ise ses chan­ces de réalis­er un ser­vice gag­nant grâce au gain de temps (33%) qu’il ob­tient sur le Belge. Le fait que la balle re­bon­disse dans une zone plus co­ur­te ne con­stitue pas un réel avan­tage pour un ser­vice « au T ». En re­vanche, il est clair qu’il aura toute son im­por­tance pour un ser­vice croisé extérieur !

Voilà, l’étude est lon­gue pour un résul­tat fin­ale­ment assez at­tendu, mais je trouve in­téres­sant de pouvoir modéliser ce type de « phénomène » assez sim­ple en ap­par­ence.

3^ème cas : Présence de frot­te­ments fluides quad­ratiques

A par­tir de cer­taines vites­ses trop élevées, la force de frot­te­ment ne se modélise plus en k*v, mais en h*v^2, ainsi la force de frot­te­ment est pro­por­tion­nelle au carré de la vites­se. Les cal­culs qui en découlent sont be­aucoup plus délicats et les équa­tions ob­tenues n’ad­mettent pas de sol­u­tion an­alytique. Aut­re­ment dit il faut créer un pro­gram­me pour ob­tenir des sol­u­tions « point par point ». Le résul­tat que j’ai ob­tenu est peu différent du modèle des frot­te­ments linéaires, je ne dévelop­perai donc pas plus cette par­tie !

Deuxième par­tie : Ser­vice croisé extérieur

Cette fois, pre­nons l’exem­ple d’un ser­vice de droiti­er, de droite à gauc­he, visant la ligne ex­térieure. L’étude ne peut plus se faire dans 2 di­mens­ions puis­qu’ici la trajec­toire va vari­er égale­ment en lar­geur. Es­sayons de montr­er à quel point un grand ser­veur est avan­tagé dans cette situa­tion…

On pre­ndra la référence précédente (1m80, balle frappée à 2m80, à 200km/h, 90 cen­timètres en avant).

La démarche est similaire au 1^er cas, il va fal­loir cepen­dant rajout­er une com­posan­te sur la lar­geur. En d’aut­res ter­mes, la balle ayant un mouve­ment sur la lar­geur (x), la lon­gueur (y) et la hauteur (z), on aura 3 équa­tions (au lieu de 2) pour définir sa trajec­toire.

On gar­dera l’angle alpha pour désign­er l’angle in­iti­al entre la vert­icale (z) et la trajec­toire. Il faut par con­tre définir un nouvel angle, désig­nant l’inclinaison entre l’axe (y) lié à la lon­gueur du ter­rain, on ap­pellera cet angle beta.

L’origine du repère représente le point d’im­pact de la raquet­te avec la balle.

On traitera di­rec­te­ment le cas avec les frot­te­ments linéaires :

De la même manière qu’au 1^er cas, on a les équa­tions de la vites­se pro­jet­ée sur les 3 axes :

Vx(t) = v0*sin(beta)*exp(-(k/m)*t) (1)

Vy(t) = v0*sin(alpha)*exp(-k/m*t) (2)

Vz(t) = ((m*g)/k – v0*cos(alpha))*exp(-(k/m)*t) – (m*g)/k (3)

La norme de ces trois com­posan­tes donne la vites­se réelle dont voici l’évolu­tion au cours du temps :

La perte de vites­se est très légère­ment sup­érieure au cas précédent, ce qui est logique car la dis­tan­ce à par­courir est un peu plus lon­gue et donc les frot­te­ments de l’air agis­sent plus longtemps.

Voici, sans détails, les équa­tions para­métriques de la trajec­toire :

X(t) = -(m*v0*sin(beta))/k*exp(-(k/m)*t) + (m*v0*sin(beta))/k + x0 (4)

Y(t) = -(m*v0*sin(alpha))/k*exp(-(k/m)*t) + (m*v0*sin(alpha))/k + y0 (5)

Z(t) = (m/k)*(v0*cos(alpha) – (m*g)/k)*exp(-(k/m)*t) – (m*g)/k*t + (m/k)*((m*g)/k – v0*cos(alpha))+z0 (6)

Faute d’un logiciel peu re­présen­tatif, je ne vous montrerai pas la trajec­toire du ser­vice (dif­ficile à re­présent­er en 3 di­mens­ions). Néan­moins, les cal­culs per­met­tent de com­par­er différents types de ser­veurs, en l’oc­curr­ence on re­prendra nos amis Roc­hus et Kar­lovic !

Ainsi pour Olivi­er Roc­hus ser­vant à 200km/h, s’il veut touch­er la ligne ex­térieure (ser­vice idéal !)et pass­er au-dessus du filet (dont on fixe cette fois la hauteur à 0.999m), on aurait un angle alpha=83,3° et beta=16,6° et la balle at­terrirait à une lon­gueur de 17,75m, ce qui est bien dans les li­mites du court, avec une durée de 339ms.

Pour Kar­lovic avec les mêmes con­di­tions de ser­vice, il touc­herait la ligne ex­térieure avec un angle alpha=79,3° et beta=18,3° avec un im­pact au sol à 16,05m, soit 1m70 avant le ser­vice de Roc­hus, avec une durée de 305 ms, donc un ser­vice 10% plus court en terme de temps que celui du Belge ! Vous im­aginez la différence d’ef­fort d’an­ticipa­tion et d’explosivité pour le re­tour­neur entre ces deux ser­vices !

Là en­core, l’écart de vites­se à l’arrivée est pratique­ment in­exis­tant entre les deux ser­vices. C’est donc bien au niveau de la posi­tion et dans une moindre mesure, au niveau du temps, que le grand ser­veur possède un avan­tage énorme.

Con­clus­ion

Le ser­vice a été étudié avec plusieurs hy­pothèses pour simplifi­er l’étude, qui m’a déjà pris be­aucoup de temps… Les résul­tats sont pour­tant assez réalis­tes et con­fir­ment l’a priori. Reste plus qu’à film­er un ser­veur, étudi­er la trajec­toire avec un logiciel adapté et con­firm­er ou non le modèle ci-dessus ! J’espère avoir été assez clair… et pas avoir dégoûté trop de monde !

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